Question

半径为R的球O的截面BCD把球面面积分为两部分，截面圆O₁的面积为12π，2OO₁=R，BC是截面圆O₁的直径，D是圆O₁上不同于B，C的一点，CA是球O的一条直径．
①求证：平面ADC⊥平面ABD；
②求三棱锥A-BCD的体积最大值；
③当D分BC的两部分的比BD：DC=1：2时，求二面角B-AC-D的正切值．

Answer 1

分析：①证明平面ADC内的直线DC，垂直平面ABD内的两条相交直线AB，BD，即可证明平面ADC⊥平面ABD；
②先求出球的半径，AB=4，要V_A-BCD取最大，则需S_△BCD取最大即可；
③D分BC的两部分的比BD：DC=1：2，过D作DE⊥BC则DE⊥平面ABC，过D作DF⊥AC于F，连EF，∠EFD为二面角D-AC-B的平面角，解三角形即可求二面角B-AC-D的正切值．

解答：解：（1）连OO₁，则OO_{1⊥面BDC△ABC中，}
OO₁∥AB
∴AB⊥面BCD，
∵CD在面BCD内
∴AB⊥DC又由题意知BD⊥DC且AB∩BD=B
∴CD⊥面ABD∵CD在面ACD内
∴面ACD⊥面ABD（4分）
（2）∵S_⊙=12π∴O₁C=2R=2OO₁
在△O₁OC中OO₁²+O₁C²=R²
∴R=4OO₁=2∵AB=2OO₁∴AB=4
∵AB⊥面BDC，
要V_A-BCD取最大，则需S_△BCD取最大
∵（A_△BCD）_max=

1

2

×4

3

×2

3

=12(VA-BCD)max=

1

3

×12×4=16（9分）
（3）当弧BD：弧DC=1：2时∠BO₁D=60°，∠DO₁C=120°
∴BD=2

3

CD=6
∵AB⊥面BDC∴面ABC⊥面BDC，面ABC∩面BCD=BC
过D作DE⊥BC则DE⊥平面ABC，过D作DF⊥AC于F，
连EF则∠EFD为二面角D-AC-B的平面角，
在△ADC中，DF=

BD•DC

AC

=

6×2 7

8

=

3

2

7

在△DC中，DE=

BD•DC

BC

=

2 3 •6

4 3

=3sin∠EFD=

DE

DF

=

3

3 2 7

=

2

7

7

∴二面角D-AC-BD的大小为atcsin

2

7

7

（14分）

点评：本题考查平面与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积，二面角及其度量，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．