Question

在△PAB中A₁∈PA，B₁∈PB，如图（1）所示，则△PA₁B₁和△PAB具有面积关系

S△PA1B1

S△PAB

=

PA 1•PB 1

PA •PB

在平面几何中该关系式已经证明是成立的．请你在三棱锥P-ABC中（图2）写出一个类似的正确结论；并给予证明．

Answer 1

分析：根据类比推理确定空间中类似的结论．

解答：解：结论：在三棱锥P-ABC中，A₁∈PA，B₁∈PB，C₁∈PC，则两三棱锥P-A₁B₁C₁和P-ABC体积具有关系式：

VP-A1B1C1

VP-ABC

=

PA1•PB1•PC1

PA•PB•PC

．…
如图（2）
证明：过B₁作B₁H₁⊥面PAC于H₁，过B作BH⊥面PAC于H，则B₁H₁∥BH，
则点B，B₁，P，H₁，H共面，易证：点P，H₁，H三点共线．
因为△B₁PH₁∽△BPH，所以

B1H1

BH

=

PB1

PB

                                           
由平面几何可知：

S△PA1C1

S△PAC

=

PA1?PC1

PA?PC

，

VP-A1B1C1

VP-ABC

=

VB1-PA1C1

VB-PAC

=

1 3 S△PA1C1?B1H1

1 3 S△PAC?BH

=

PA1?PB1?PC1

PA?PB?PC

点评：本题主要考查类比推理的应用，要求根据平面之间的关系类比到空间中，考查学生的推理能力．