Question

在某交通拥挤地段，交通管理部门规定，在此地段内的车距d（米）与车速v（千米/小时）的平方和车身长的积成正比，且最小车距不得小于半个车身长，假定车身长均为S（米），且当车速为50（千米/小时），车距恰好为车身长．问交通繁忙时，应规定怎样的车速才能使此地的车流量最大（车流量即为1小时所通过的车辆数）？

Answer 1

分析：根据车距d是车速v（千米/小时）的平方与车身长S（米）之积的正比例函数，可假设函数解析式．利用车速为50千米/小时，车距恰为车身长．可求d关于v的解析式，从而可得车流量关于v的函数，利用基本不等式可求最值．

解答：解：（1）∵车距d是车速V（公里/小时）的平方与车身长S（米）积的正比例函数，设d=KV²S，
∵V=50时，d=s，得s=K×50²×S，
∴K=

1

2500

，
∴d=

1

2500

V²S，又d=

1

2

S时，V=25

2

，
∴当0＜V≤25

2

时，车距d=车身长的一半，车流量Q=

2000V

3S

，∴Q_max=

50000 2

3S

当V＞25

2

时，车距d=

1

2500

V²S，车流量Q=

1000V

S(1+ V2 2500 )

=

1000

S( 1 V + V 2500 )

≤

25000

S

∵

25000

S

＞

50000 2

3S

∴V=50（公里/小时），即车速为50公里/小时时，才能使此地段的车流量最大．

点评：本题的考点是根据实际问题选择函数类型．主要考查利用待定系数法求函数解析式，同时考查利用基本不等式求函数的最值，关键是将实际问题转化为数学问题．