Question

若函数式f（n）表示n²+1（n∈N^*）的各位上的数字之和，如14²+1=197，1+9+7=17，所以F（14）=17，记f₁（n）=f（n），f₂（n）=f[f₁（n）]…，f_k+1（n）=f[f_k（n）]，k∈N^*，则f₂₀₀₉（17）=

5

．

Answer 1

分析：先利用前几项找到数列的特点或规律，f_n（17）是从第一项起以3为周期的循环数列，再求f₂₀₀₉（17）即可．

解答：解：由17²+1=290⇒f（17）=2+9+0=11，
11²+1=122⇒f（11）=1+2+2=5，
5²+1=26⇒f（5）=8
8²+1=65⇒f（8）=11
11²+1=122⇒f（11）=5
…⇒f_n（17）是从第一项起以3为周期的循环数列，
又2009÷3的余数为2，故f₂₀₀₉（17）=f₂（17）=f（11）=5．
故答案为：5．

点评：本题考查了新定义型的题．关于新定义型的题，关键是理解定义，并会用定义来解题，属于中档题．