Question

已知函数g（x）=

2

x

+lnx，f（x）=mx-

m-2

x

-lnx，m∈R
（1）若f（x）-g（x）在[1，+∞）上为单调函数，求m的取值范围；
（2）设h（x）=

2e

x

，若在[1，e]上至少存在一个x₀，使得f（x₀），使得f（x₀）-g（x₀）＞h（x₀）成立，求m取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）令y=f（x）-g（x）=mx-

m-2

x

-lnx-（

2

x

+lnx）=mx-

m

x

-2lnx的定义域为（0，+∞）；求导y′=

mx2-2x+m

x2

；再由f（x）-g（x）在[1，+∞）上为单调函数知mx²-2x+m≥0在[1，+∞）上恒成立，或mx²-2x+m≤0在[1，+∞）上恒成立；从而讨论求解．
（2）当x=1时，f（1）-g（1）＜h（1）；当x∈（1，e]时，化f（x）-g（x）＞h（x）为m＞

2e+2xlnx

x2-1

；从而化为恒成立问题．

解答： 解：（1）令y=f（x）-g（x）=mx-

m-2

x

-lnx-（

2

x

+lnx）=mx-

m

x

-2lnx的定义域为（0，+∞）；
y′=

mx2-2x+m

x2

；
由于f（x）-g（x）在[1，+∞）上为单调函数，
则mx²-2x+m≥0在[1，+∞）上恒成立，或mx²-2x+m≤0在[1，+∞）上恒成立；
易知当m≤0时，mx²-2x+m≤0在[1，+∞）上恒成立；
当m＞0时，应该有mx²-2x+m≥0在[1，+∞）上恒成立，
即m≥

2x

1+x2

在[1，+∞）上恒成立；
而（

2x

1+x2

）_max=1；
故m≥1；
综上所述，
m的取值范围为（-∞，0]∪[1，+∞）；
（2）当x=1时，f（1）-g（1）＜h（1）；
当x∈（1，e]时，由f（x）-g（x）＞h（x）得，
m＞

2e+2xlnx

x2-1

；
令G（x）=

2e+2xlnx

x2-1

，
则G′（x）=

(-2x2-2)lnx+(2x2-4ex-2)

(x2-1)2

＜0；
故G（x）=

2e+2xlnx

x2-1

在（1，e]上递减，
G（x）_min=G（e）=

4e

e2-1

；
综上，要在[1，e]上至少存在一个x₀，使得f（x₀）-g（x₀）＞h（x₀）成立，
只需使m＞

4e

e2-1

．

点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题与存在性命题的应用，属于中档题．