Question

已知函数f（x）=

ax(x＜0) (2-a)x+ 2a 3 (x≥0)

满足对任意x₁≠x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0 成立，则a的取值范围是（　　）

• A、（1，2]
• B、（1，2）
• C、（

  3

  2

  ，2）
• D、[

  3

  2

  ，2）

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据已知条件可知函数f（x）在R上单调递增，所以对于y=a^x，a＞1；对于y=(2-a)x+

2a

3

，a＜2，又a^x＞1，且1≤

2a

3

，进而可得答案．

解答： 解：∵对任意x₁≠x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0 成立；
∴f（x₁）-f（x₂）与x₁-x₂同号，
即x₁-x₂＜0时，f（x₁）-f（x₂）＜0，
即x₁＜x₂时，f（x₁）＜f（x₂）；
∴函数f（x）在R上是增函数；
∴x＜0时，f（x）=a^x，a＞1；
x≥0时，f（x）=(2-a)x+

2a

3

，a＜2，
又a^x＞1，（(2-a)x+

2a

3

）_max=

2a

3

≥1，即a≥

3

2

，
∴a∈[

3

2

，2），
故选：D

点评：考查单调性的定义，分段函数的单调性，指数函数的单调性，一次函数的单调性，以及对于单调性定义的利用．