Question

在下列四个命题中：
①函数y=tan(x+

π

4

)的定义域是{x|x≠

π

4

+kπ，k∈Z}；
②已知sinα=

1

2

，且α∈[0，2π]，则α的取值集合是{

π

6

}；
③函数f（x）=sin2x+acos2x的图象关于直线x=-

π

8

对称，则a的值等于-1；
④函数y=cos²x+sinx的最小值为-1．
把你认为正确的命题的序号都填在横线上

 

．

Answer 1

分析：①根据正切函数的定义可知定义域为x+

π

4

≠kπ+

π

2

解出x的范围即可判断；
②因为sinα=

1

2

，且α∈[0，2π]，根据特殊角的三角函数值可得α的值即可判断；
③由函数关于直线x=-

π

8

对称得到f（0）=f（-

π

4

），代入求出a即可判断；
④利用同角三角函数间的基本关系化简y，并利用二次函数求最值的方法得到y的最小值即可判断．

解答：解：根据正切函数的定义得：x+

π

4

≠

π

2

+kπ?x≠

π

4

+kπ(k∈Z)，故①正确；
由sinα=

1

2

，且α∈[0，2π]?α=

π

6

或α=

5π

6

，故②不正确；
函数f（x）的图象关于直线x=-

π

8

对称?f(0)=f(-

π

4

)?a=-1，故③正确；y=cos2x+sinx=1-sin2x+sinx=-(sinx-

1

2

)2+

5

4

，-1≤y≤

5

4

，故④正确．
所以正确的序号有：①③④
故答案为①③④

点评：本题考查学生知识比较多，考查了正切函数的定义域，特殊角的三角函数值，以及正弦函数的对称性，利用同角三角函数间的基本关系化简求值，二次函数求最值的方法．