已知函数,其中为正常数.
(Ⅰ)求函数在上的最大值;
(Ⅱ)设数列满足:,,
(1)求数列的通项公式;
(2)证明:对任意的,;
(Ⅲ)证明:.
(1)
(2),并运用数列的通项公式来结合函数的性质来得到证明。
(3)从已经研究出的性质出发,实现求和结构的放缩.
【解析】
21. 试题分析:解:(Ⅰ)由,可得,
(2 分)
所以,,, (3 分)
则在区间上单调递增,在区间上单调递减,
所以,. (4 分)
(Ⅱ)(1)由,得,又,
则数列为等比数列,且, (5 分)
故为所求通项公式. (6 分)
(2)即证,对任意的,
( 7分)
证法一:(从已有性质结论出发)
由(Ⅰ)知 (9 分)
即有对于任意的恒成立. (10 分)
证法二:(作差比较法)
由及 ( 8分)
(9 分)
即有对于任意的恒成立. (10 分)
(Ⅲ)证法一:(从已经研究出的性质出发,实现求和结构的放缩)
由(Ⅱ)知,对于任意的都有,
于是,
(11 分)对于任意的恒成立
特别地,令,即, (12 分)
有,故原不等式成立.
(14 分)
以下证明小组讨论给分
证法二:(应用柯西不等式实现结构放缩)
由柯西不等式:
其中等号当且仅当时成立.
令,,可得
则
而由,所以
故,所证不等式成立.
证法三:(应用均值不等式“算术平均数”“几何平均数”)
由均值不等式:,其中
可得 ,
两式相乘即得,以下同证法二.
证法四:(逆向分析所证不等式的结构特征,寻找证明思路)
欲证,
注意到,而
从而所证不等式可以转化为证明
在此基础上可以考虑用数学归纳法证明此命题
考点:数列的运用
点评:本试题考查了数列的通项公式和数列的最值的运用,属于基础题。
科目:高中数学 来源: 题型:
1 |
9 |
lim |
n→∞ |
x2 |
9 |
y2 |
4 |
1 |
x |
1 |
a |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源:四川省同步题 题型:填空题
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