Question

如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面ABE，∠AEB=90°，BE=BC，F为CE的中点，求证：
（1）AE∥平面BDF；
（2）平面BDF⊥平面ACE．

Answer 1

证明：（1）设AC∩BD=G，连接FG，易知G是AC的中点，∵F是EC中点，由三角形中位线的性质可得 FG∥AE，
∵AE?平面BFD，FG?平面BFD，∴AE∥平面BFD．
（2）∵平面ABCD⊥平面ABE，BC⊥AB，
平面ABCD∩平面ABE=AB∴BC⊥平面ABE，又∵AE?平面ABE，∴BC⊥AE，
又∵AE⊥BE，BC∩BE=B，∴AE⊥平面BCE，∴AE⊥BF．
在△BCE中，BE=CB，F为CE的中点，∴BF⊥CE，AE∩CE=E，∴BF⊥平面ACE，
又BF?平面BDF，∴平面BDF⊥平面ACE．
分析：（1）设AC∩BD=G，由三角形中位线的性质可得 FG∥AE，从而证明AE∥平面BFD．
（2）利用线面垂直的判定定理AE⊥平面BCE，得到AE⊥BF，由等腰直角三角形的性质证明BF⊥CE，
从而证明BF⊥平面ACE，即证平面BDF⊥平面ACE．
点评：本题考查证明线面平行、面面垂直的方法，线面平行的判定、面面垂直的判定，证明AE⊥BF 是解题的难点．