Question

【题目】设数列{an}的前n项和为Sn ， a1=1，an+1=λSn+1（n∈N*，λ≠﹣1），且a1、2a2、a3+3成等差数列．
（1）求证：数列{an}为等比数列；
（2）设bn=2an﹣1，求数列{bn}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵an+1=λSn+1（n∈N*），∴an=λSn﹣1+1（n≥2），

∴an+1﹣an=λan，即an+1=（λ+1）an（n≥2），λ+1≠0，

又a1=1，a2=λS1+1=λ+1，

∴数列{an}是以1为首项，公比为λ+1的等比数列

（2）解：∵ ，且a1、2a2、a3+3成等差数列．

∴4（λ+1）=1+（λ+1）2+3，整理得λ2﹣2λ+1=0，得λ=1，

∴ ．

∴ ，

∴ ，= =2n+1﹣2﹣n．

【解析】（1）an+1=λSn+1（n∈N*），可得an=λSn﹣1+1（n≥2），相减可得：an+1=（λ+1）an（n≥2），λ+1≠0，利用等比数列的通项公式即可得出．（2）由 ，且a1、2a2、a3+3成等差数列．可得4（λ+1）=1+（λ+1）2+3，解得λ=1，可得an，进而得到bn．再利用等比数列的求和公式即可得出．
【考点精析】利用数列的前n项和和数列的通项公式对题目进行判断即可得到答案，需要熟知数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．