Question

如图，已知正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁，点E在棱D₁D上，截面EAC∥D₁B，且面EAC与底面ABCD所成的角为45°，AB =a．

(1) 求截面EAC的面积；

(2) 求异面直线A₁B₁与AC之间的距离；

(3) 求三棱锥B₁—EAC的体积．

 

Answer 1

答案：
解析：

解：(1) 连DB交AC于O，连EO． ∵ 底面ABCD是正方形，  ∴ DO⊥AC． 又∵ ED⊥底面AC，       ∴ EO⊥AC． ∴∠EOD是面EAC与底面AC所成二面角的平面角． ∴ ∠EOD =45°，，，，     故 ． (2) 易知A1A 是异面直线A1 B1与AC的公垂线段． ∵ D1B∥面EAC． ∴ D1B∥EO， 又O是DB中点，E是D1D中点，D1B =2EO =2a． ∴ ， 异面直线A1 B1与AC间的距离为． (3) 连结D1B1． ∵ ，     BDD1 B1是正方形， 连结B1D交D1 B于P，交EO于Q， ∵ B1D⊥D1 B，EO∥D1B1． ∴ B1D⊥EO． 又AC⊥EO，AC⊥ED． ∴ AC⊥面BDD1 B1， ∴ B1D⊥AC ∴ B1D⊥面EAC． ∴ B1Q是三棱锥B1－EAC的高． ∴ ． 所以三棱锥B1－EAC的体积是．