Question

【题目】已知α∈[0，π），在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为 （t为参数）；在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l2的极坐标方程是ρcos（θ﹣α）=2sin（α+ ）．
（Ⅰ）求证：l1⊥l2
（Ⅱ）设点A的极坐标为（2， ），P为直线l1 ， l2的交点，求|OP||AP|的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）证明：直线l1的参数方程为 （t为参数）；

消去参数t可得：直线l1的普通方程为：xsinα﹣ycosα=0．

又直线l2的极坐标方程是ρcos（θ﹣α）=2sin（α+ ）．展开为ρcosθcosα+ρsinθsinα=2sin（α+ ）．

即直线l2的直角坐标方程为：xcosα+ysinα﹣2sin（α+ ）=0．

因为sinαcosα+（﹣cosα）sinα=0，

根据两直线垂直的条件可知，l1⊥l2．

（Ⅱ）当ρ=2， 时，ρcos（θ﹣α）=2cos =2sin（α+ ）．

所以点A（2， ），在直线ρcos（θ﹣α）=2sin（α+ ）上．

设点P到直线OA的距离为d，由l1⊥l2可知，d的最大值为 =1．

于是|OP||AP|=d|OA|=2d≤2

所以|OP||AP|的最大值为2

【解析】（Ⅰ）直线l1的参数方程为 （t为参数）；消去参数t可得：直线l1的普通方程．又直线l2的极坐标方程是ρcos（θ﹣α）=2sin（α+ ）．展开为ρcosθcosα+ρsinθsinα=2sin（α+ ）．利用互化公式可得直线l2的直角坐标方程，根据两直线垂直的条件即可证明：l1⊥l2．（Ⅱ）当ρ=2， 时，满足方程ρcos（θ﹣α）=2sin（α+ ）．可得点A（2， ），在直线ρcos（θ﹣α）=2sin（α+ ）上．设点P到直线OA的距离为d，由l1⊥l2可知，d的最大值为 =1．即可得出|OP||AP|=d|OA|=2d最大值．