精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

已知椭圆 $数学公式$ （a＞b＞0）的离心率为 $数学公式$ ．斜率为k（k≠0）的直线?过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M（0，m），且当k=1时，下焦点到直线?的距离为 $数学公式$ ．
（1）求椭圆的方程；
（2）求m的取值范围．

解：（1）依题意可得，下焦点坐标为（0，-c），上焦点坐标为（0，c），直线方程为y=x+c
∵下焦点到直线?的距离为 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，∴c=1
∵ $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$
∴b=1
所以椭圆方程为 $\text{[math]}$
（2）设直线的方程为y=kx+1
由 $\text{[math]}$ 可得（k²+2）x²+2kx-1=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
可得 $\text{[math]}$
设线段PQ中点为N，则点N的坐标为 $\text{[math]}$
由题意有k_MN•k=-1
可得 $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$
∵k≠0，∴ $\text{[math]}$
分析：（1）根据k=1时，下焦点到直线?的距离为 $\text{[math]}$ ，可求得c=1，利用离心率为 $\text{[math]}$ ，可求得a= $\text{[math]}$ ，从而可求椭圆的方程；
（2）设直线的方程为y=kx+1，与椭圆方程联立，借助于线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M（0，m），设线段PQ中点为N，从而有k_MN•k=-1，由此可求m的取值范围．
点评：本题以椭圆的几何性质为载体，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是借助于线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M（0，m），设线段PQ中点为N，从而有k_MN•k=-1

练习册系列答案

暑假作业新世界出版社系列答案

创新成功学习快乐暑假云南科技出版社系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>