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已知函数f(x)=(b<0)的值域为[1,3]

(1)

求实b、c的值

(2)

判断函数f(x)在[-1,1]上的单调性,并给出证明

答案:
解析:

(1)

  解析:由y=,得(2-y)x2+bx+c-y=0.  ①

  当y-2≠0时,由x∈R,有△=b2-4(2-y)(c-y)≥0,

  即4y2-4(2+c)y+8c-b2≤0.

  由已知得2+c=1+3且=1×3,

  ∴b=±2,c=2.

  又b<0,∴b=-2,c=2.

  而y-2=0,b=-2,c=2代入①得x=0,

  ∴b=-2,c=2为所求.

(2)

  设-1≤x1<x2≤1,则f(x1)-f(x2)=

  ∵≤1,≤1,x1<x2

  ∴<1,1-x1x2>0.

  而x2-x1>0,+1>0,+1>0

  ∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2)

  ∴f(x)=在[-1,1]上是减函数.

  点评:本例是在已知函数的定义域和值域的前提下,确定函数解析式中的系数.因此,在解题过程中利用“待定系数法”并结合求形如y=分式形式的函数的值域,其过程是去分母,变形为整式.运用“判别式”法求函数的值域,在解题过程中必须注意:(1)二次项系数不为零且方程有实数解时,△≥0;(2)二次项系数为零时,代入检验变量是否满足已知条件


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C.-1或                 D.1或-

 

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    (2)若a>0,则不等式f [f (x)]>x对一切实数x都成立;

    (3)若a<0,则必存在实数x0,使f [f (x0)]>x0;

    (4)若a+b+c=0,则不等式f [f (x)]<x对一切x都成立;

    正确的序号有          .              

 

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A.x1x2<1    B.x1x2<x1x2

C.x1x2x1x2    D.x1x2>x1x2

 

 

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