Question

已知变量a，θ∈R，则（a-2cosθ）²+（a-5

2

-2sinθ）²的最小值为

9

．

Answer 1

分析：设点A（a，a-5

2

）、B（2cosθ，2sinθ），易知本题即求|AB|² 的最小值．点A在直线L：x-y-5

2

=0上，点B在圆C：x²+y²=4 上，先求出圆心到直线的距离d，可得|AB|的最小值d-r，从而得到|AB|² 的最小值．

解答：解：可设点A（a，a-5

2

）、B（2cosθ，2sinθ），易知本题即求|AB|² 的最小值．
由于点A在直线L：x-y-5

2

=0上，点B在圆C：x²+y²=4 上．
数形结合可知，由圆心O（0，0）向直线L作垂线，|AB|的最小值就是夹在圆与直线间的部分．
由于圆心到直线的距离d=

|0-0-5 2 |

2

=5，|AB|min=d-r=3，
∴|AB|² 的最小值为9，
故答案为 9．

点评：本题主要考查直线和愿的位置关系，点到直线的距离公式、两点间的距离公式的应用，属于中档题．