Question

（2013•辽宁）已知函数f（x）=x²-2（a+2）x+a²，g（x）=-x²+2（a-2）x-a²+8．设H₁（x）=max{f（x），g（x）}，H₂（x）=min{f（x），g（x）}，（max{p，q}）表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值），记H₁（x）的最小值为A，H₂（x）的最大值为B，则A-B=（　　）

A．16

B．-16

C．-16a²-2a-16

D．16a²+2a-16

Answer 1

分析：先作差得到h（x）=f（x）-g（x）=2（x-a）²-8．分别解出h（x）=0，h（x）＞0，h（x）＜0．画出图形，利用新定义即可得出H₁（x），H₂（x）．进而得出A，B即可．

解答：解：令h（x）=f（x）-g（x）=x²-2（a+2）x+a²-[-x²+2（a-2）x-a²+8]=2x²-4ax+2a²-8=2（x-a）²-8．
①由2（x-a）²-8=0，解得x=a±2，此时f（x）=g（x）；
②由h（x）＞0，解得x＞a+2，或x＜a-2，此时f（x）＞g（x）；
③由h（x）＜0，解得a-2＜x＜a+2，此时f（x）＜g（x）．
综上可知：（1）当x≤a-2时，则H₁（x）=max{f（x），g（x）}=f（x）=[x-（a+2）]²-4a-2，
H₂（x）=min{f（x），g（x）}=g（x）=-[x-（a-2）]²-4a+12，
（2）当a-2≤x≤a+2时，H₁（x）=max{f（x），g（x）}=g（x），H₂（x）=min{f（x），g（x）}=f（x）；
（3）当x≥a+2时，则H₁（x）=max{f（x），g（x）}=f（x），
H₂（x）=min{f（x），g（x）}=g（x），
故A=g（a+2）=-[（a+2）-（a-2）]²-4a+12=-4a-4，B=g（a-2）=-4a+12，
∴A-B=-4a-4-（-4a+12）=-16．
故选B．

点评：熟练掌握作差法、二次函数图象的画法及其单调性、一元二次不等式的解法、数形结合的思想方法及正确理解题意是解题的关键．