Question

1．已知函数f（x）=2x³-3（a+$\frac{1}{a}}$）x²+6x+1，其中a＞0．
（1）若函数f（x）没有极值，求实数a的值；
（2）若函数f（x）在区间（2，3）上单调递减，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求导，再由函数f（x）没有极值，得到函数单调递增或单调递减，问题得以解决，
（2）由函数f（x）在区间（2，3）上单调递减，得到f′（2）≤0且f′（3）≤0，即可求出a的范围．

解答 解：（1）$f'（x）=6{x^2}-6（{a+\frac{1}{a}}）x+6=6（{x-a}）（x-\frac{1}{a}）$，
由条件，只需${[{6（{a+\frac{1}{a}}）}]^2}-4×6×6≤0$，
即${（a+\frac{1}{a}）^2}≤0$，
所以$a=\frac{1}{a}$，
因为a＞0，
从而a=1．
（2）由条件，知f′（2）≤0且f′（3）≤0，
即$\left\{\begin{array}{l}{（2-a）（2-\frac{1}{a}）≤0}\\{（3-a）（3-\frac{1}{a}）≤0}\end{array}\right.$，
因为a＞0，
所以$\left\{\begin{array}{l}{（a-2）（2a-1）≥0}\\{（a-3）（3a-1）≥0}\end{array}\right.$，
解得a≤$\frac{1}{3}$或a≥3

点评 本题考查函数的导数的应用以及参数的取值范围，属于中档题．