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(文)如图所示:已知椭圆C:数学公式,F1、F2为其左、右焦点,A为右顶点,过F1的直线l与椭圆相交于P、Q两点,且有数学公式
(1)求椭圆长半轴长a的取值范围;
(2)若数学公式,求直线l的斜率的取值范围.

解:(文)(1)若直线l与x轴垂直,容易得到
若直线l与x轴不垂直,则如图分别过点P、Q
作左准线的垂线,垂足分别为P1,Q1
得到:
∵△PF1F∽△PQS
=a|PF1|•|QF1|-a|PF1|2
所以…(4分)
从而有:,所以a2>a>0得到:a>1; …(6分)
(2)设直线l的方程为x=my-c代入椭圆方程得到:(a2+b2m2)y2-2b2cmy-b4=0,
设,则有:
所以
,…(9分)
得到
=
,…(12分)
时,m2随着a增大而增大,所以
所以斜率k满足:
所以斜率的取值范围是 …(14分)
分析:(1)分类讨论:若直线l与x轴垂直,容易得到;若直线l与x轴不垂直,则如图分别过点P、Q,作左准线的垂线,垂足分别为P1,Q1,利用△PF1F∽△PQS得出比例式,从而有:,所以a2>a>0,得到a的取值范围;
(2)设直线l的方程为x=my-c代入椭圆方程,消去x得到关于y的一元二次方程,再结合根系数的关系利用向量数量积公式即可求得m与a的关系式,再利用m2 的范围,从而求直线l的斜率的取值范围.
点评:本小题主要考查直线的斜率、椭圆的简单性质、平面向量数量积的运算等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题.
练习册系列答案
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(文)如图所示:已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,F1、F2为其左、右焦点,A为右顶点,过F1的直线l与椭圆相交于P、Q两点,且有
1
|PF1|
+
1
|QF|
=2

(1)求椭圆长半轴长a的取值范围;
(2)若
AP
AQ
=a2且a∈(
4
3
9
5
)
,求直线l的斜率的取值范围.

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(文)如图所示:已知椭圆C:,F1、F2为其左、右焦点,A为右顶点,过F1的直线l与椭圆相交于P、Q两点,且有
(1)求椭圆长半轴长a的取值范围;
(2)若,求直线l的斜率的取值范围.

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