Question

如图，在三棱拄中，侧面，已知AA₁=2,,．

（1）求证：；

（2）试在棱(不包含端点上确定一点的位置,使得；

（3）在（2）的条件下,求二面角的平面角的正切值．

 

Answer 1

【答案】

（1）见解析    （2）见解析    （3）

【解析】(I)根据线面垂直的判定定理只需证明和即可.

(2) 易证,然后设CE=x,则 ,则,

又因为,则，在直角三角形BEB₁中根据勾股定理建立关于x的方程,解出x的值，确定E为位置.

(3)本小题可以考虑向量法.求出两个面的法向量，再求法向量的夹角，根据法向量的夹角与二面角相等或互补求二面角

（1）因为侧面，故．

   在△BC₁C中，．

由余弦定理有 ．

故有  而 且平面

．…….……………4分

（2）由

从而  且 故

 不妨设  ，则，则 

又  则^，

在直角三角形BEB₁中有，   从而

故为的中点时，．……………9分

 法二：以为原点为轴，设，

则由得    即

 ．

化简整理得       或 当时与重合不满足题意

当时为的中点故为的中点使． ……….…9分

（3）取的中点，的中点，

的中点，的中点．连则，连则，

连则，连则，且为矩形，．

又． 故为所求二面角的平面角．

在中，．

．．…………15分

法二：由已知， 所以二面角的平面角的大小为向量与的夹角．因为，   ．

故