Question

如图所示,已知三棱柱ABC—A₁B₁C₁的各棱长均为2,侧棱B₁B与底面ABC所成的角为60°,且侧面ABB₁A₁垂直于底面ABC.

(1)求证:AB⊥CB₁;

(2)求三棱柱ABC—A₁B₁C₁的体积;

(3)求二面角CAB₁B的大小.

Answer 1

解析:(1)利用面面垂直的性质添加辅助线B₁D,使B₁D⊥AB于D;(2)求出柱体的底面积和高;(3)作出二面角的平面角.

(1)证明:在平面ABB₁A₁内,过B₁作B₁D⊥AB于D,

连结AB₁.∵侧面ABB₁A₁⊥平面ABC,

∴B₁D⊥平面ABC.

∴∠B₁BA是B₁B与底面ABC所成的角.

∴∠B₁BA=60°.∵三棱柱的各棱长均是2,

∴△ABB₁是正三角形.∴D是AB的中点.

连结CD,在正△ABC中,CD⊥AB,

∴AB⊥面B₁DC.

∴AB⊥CB₁.

(2)解:∵B₁D⊥平面ABC,

∴B₁D是三棱柱A₁B₁C₁—ABC的高.

∴由B₁B=2,∠B₁BA=60°,得B₁D=2sin60°=.

∴三棱柱ABC—A₁B₁C₁的体积为S_△ABC·B₁D=(××2×2)=3.

(3)解:∵△ABC为正三角形,CD⊥AB,CD⊥B₁D,

∴CD⊥平面ABB₁.

在平面ABB₁中作DE⊥AB₁于E,

连结CE,则CE⊥AB₁,∴∠CED为二面角CAB₁B的平面角.

在Rt△CED中,CD=2sin60°=,

连结BA₁交AB₁于O,则BO=,

∴DE=BO=.

∴tan∠CED==2.

∴所求二面角C-AB₁-B的大小为arctan2.

小结：(1)无论在什么样的几何体中,只要有面面垂直就要考虑面面垂直的性质.(2)作出二面角的平面角并证明所作的角是二面角的平面角,然后通过解三角形求出二面角的平面角,这是求二面角的基本步骤.