Question

已知F是抛物线C：y²=4x的焦点，A，B是C上的两个点，线段AB的中点为M（2，2），则△ABF的面积等于

 

．

Answer 1

分析：利用点斜式设过M的直线方程，与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表达式，根据AB的中点坐标求得k，进而求得直线方程，求得AB的长度和焦点到直线的距离，最后利用三角形面积公式求得答案．

解答：解：设过M的直线方程为y-2=k（x-2），由

y-2=k(x-2) y2=4x

?k2x2-4kx+4(k-1)2=0
∴x1+x2=

4

k

，x1x2=

4(k-1)2

k2

，
由题意

4

k

=4?k=1，于是直线方程为y=x，x₁+x₂=4，x₁x₂=0，
∴|AB|=4

2

，焦点F（1，0）到直线y=x的距离d=

1

2

∴△ABF的面积是

1

2

×4

2

×

1

2

=2
故答案为2

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．当直线与圆锥曲线相交时   涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公式）