Question

已知函数．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）讨论函数f（x）在区间（1，+∞）上的单调性，并用定义证明之．

Answer 1

解：（1）∵，∴f（x）的定义域是{x|x＜-1或x＞1}
又f（-x）+f（x）=
∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）为奇函数…（5分）
（2）∵
∴当x＞1时，f（x）有意义
∴当a＞1时，f（x）在（1，+∞）上单调递减
当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上单调递增
证明如下：设任意的x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁＞x₂
则
∴x₁＞x₂＞1∴x₁+1＞x₂+1＞2，x₁-1＞x₂-1＞0，x₂-x₁＜0
∴
∴
∴当a＞1时，
∴f（x₁）＜f（x₂）
当0＜a＜1时，
∴f（x₁）＞f（x₂）
故 当a＞1时，f（x）在（1，+∞）上单调递减；
当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上单调递增．
分析：（1）先判断函数的定义域是否关于原点对称，再利用奇函数定义，证明f（-x）=-f（x）即可；（2）先将函数化为复合函数形式，由于内层函数为减函数，故函数的单调性取决于外层函数的单调性，故需分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论函数的单调性，最后利用函数单调性的定义证明讨论结果即可
点评：本题考查了函数奇偶性的定义及其判断方法，复合函数单调性的判断方法，利用定义证明函数单调性的方法和步骤，分类讨论的思想方法