Question

已知对任意的x＞0恒有a1nx≤b（x-1）成立．
（1）求正数a与b的关系；
（2）若a=1，设f（x）=m

x

+n，（m，n∈R），若1nx≤f（x）≤b（x-1）对?x＞0恒成立，求函数f（x）的解析式；
（3）证明：1n（n!）＞2n-4

n

（n∈N，n≥2）

Answer 1

分析：（1）由条件构造函数，进而把不等式问题转化为函数的最值问题，求导，从而得到a与b的关系；
（2）待定系数法求函数的解析式，注意不等式中等号成立的条件，是解答此题的关键；
（3）借助于（2）的结论来证明（3），利用放缩法达到证明不等式的目的．

解答：解：（1）设f（x）=alnx-b（x-1），
易知f（1）=0，由已知f（x）≤0恒成立，
所以函数f（x）在x=1处取得最大值．f′(x)=

a

x

-b=

a-bx

x

∴f'（1）=0，∴a=b
又∵a＞0，∴f（x）在x=1处取得极大值，符合题意，
即关系式为a=b．（3分）
（2）∵a=1，∴b=1∴lnx≤m

x

+n≤x-1恒成立，
令x=1，有0≤m+n≤0，∴m+n=0（5分）∴m

x

+m≤x-1，
即(

x

-1)(

x

+1-m)≥0对?x＞0恒成立，∴须1-m=-1，即m=2∴函数f(x)=2(

x

-1)（7分）
（3）由（2）知：ln

1

k

≤

2

k

-2=

4

2 k

-2＜

4

k + k-1

-2=4(

k

-

k-1

)-2（9分）
∴ln

1

n!

＜4[(

n

-

n-1

)+(

n-1

-

n-2

)++(

1

-

0

)]-2n=4

n

-2n
即lnn!＞2n-4

n

(n∈N，n≥2)（12分）

点评：利用函数的单调性、最值证明不等式，体现了导数的作用；不等式等号成立的条件，体现了赋值法求某点的函数值．