Question

已知椭圆的右准线，右焦点F到短轴一个端点的距离为2，过动点A（4，m）引椭圆的两条切线AP、AQ，切点分别为P、Q
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求证：直线PQ过定点，并求出定点的坐标；
（Ⅲ）要使最小，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由题意可得：a=2，所以，所以b²=a²-c²=1，进而求出椭圆的方程．
（II）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由题知y₁=2x₁a+2，y₂=2x₂a+2，所以直线PQ的方程是x+my=1，可得直线PQ过定点．
（Ⅲ）要使 最小，就是使得A到直线PQ的距离最小，A到直线PQ的距离，当m²=1时取等号，又因为 •=（m²+1）y₁y₂+2m（y₁+y₂）+9+m²，所以再联立直线与椭圆的方程解决．
解答：解：（I）因为右焦点F到短轴一个端点的距离为2，
所以a=2，
又因为，
所以，
所以b²=a²-c²=1，
所以椭圆的方程为．
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由题意可得：切点为P的椭圆的方程为：，
因为点A（4，m）在切线AP上，所以有：x₁+my₁=1；
同理：x₂+my₂=1，
则直线PQ的方程：x+my=1，所以直线PQ过定点（1，0）．
（Ⅲ）由三角形的面积公式可得：就是A到直线PQ的距离d的，
由点到直线的距离公式可得：，
当且仅当m²=1时取得等号．
由可得：（m²+4）y²-2my-3=0，
所以y₁+y₂=，y₁y₂=-，
所以=（m²+1）y₁y₂+2m（y₁+y₂）+9+m²=，
因为m²=1，
所以=．
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．