Question

函数f（x）的定义域为R，数列{a_n}满足a_n=f（a_n-1）（n∈N^*且n≥2）．
（Ⅰ）若数列{a_n}是等差数列，a₁≠a₂，且f（a_n）-f（a_n-1）=k（a_n-a_n-1）（k为非零常数，n∈N^*且n≥2），求k的值；
（Ⅱ）若f（x）=kx（k＞1），a₁=2，bn=lnan(n∈N*)，数列{b_n}的前n项和为S_n，对于给定的正整数m，如果

S(m+1)n

Smn

的值与n无关，求k的值．

Answer 1

（本小题共13分）
（Ⅰ）当n≥2时，
因为a_n=f（a_n-1），f（a_n）-f（a_n-1）=k（a_n-a_n-1），
所以a_n+1-a_n=f（a_n）-f（a_n-1）=k（a_n-a_n-1）．
因为数列{a_n}是等差数列，所以a_n+1-a_n=a_n-a_n-1．
因为 a_n+1-a_n=k（a_n-a_n-1），所以k=1．…（6分）
（Ⅱ）因为f（x）=kx，（k＞1），a₁=2，且a_n+1=f（a_n），
所以a_n+1=ka_n．
所以数列{a_n}是首项为2，公比为k的等比数列，
所以an=2•kn-1．
所以b_n=lna_n=ln2+（n-1）lnk．
因为b_n-b_n-1=lnk，
所以{b_n}是首项为ln2，公差为lnk的等差数列．
所以 S_n=

(b1+bn)n

2

=n[ln2+

n-1

2

•lnk]．
因为

S(m+1)n

Smn

=

(m+1)n[ln2+ (m+1)n-1 2 lnk]

mnln2+ mn-1 2 lnk]

=

(m+1)[(m+1)nlnk+2ln2-lnk]

m[mnlnk+2ln2-lnk]

，
又因为

S(m+1)n

Smn

的值是一个与n无关的量，
所以

2ln2-lnk

mnlnk

=

2ln2-lnk

(m+1)nlnk

，
解得k=4．…（13分）