如图.在60°的二面角的棱上有A.B两点.线段AC.BD分别在二面角的两个面内.且都垂直于AB.已知AB=4.AC=6.BD=8.求CD的长度. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，在60°的二面角的棱上有A、B两点，线段AC、BD分别在二面角的两个面内，且都垂直于AB，已知AB=4，AC=6，BD=8.求CD的长度.

解析：因为〈,〉=60°,

所以〈,〉=120°.

又=++,

故有||²==(++)(++)=

+++2·+2·+2·.

因为CA⊥AB,BD⊥AB,?

所以·=0, ·=0.

所以||²=6²+4²+8²-2×6×8×=68.

所以||=.

温馨提示：使用向量法解此题时，由于考虑到未知条件为CD，故应用已知的AB、AC、BD三个向量将CD表示出来，再利用|CD|²=CD²这一知识计算|CD|.

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（Ⅱ）若AF=AB，求二面角B-EF-D的余弦值．

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（2006•宝山区二模）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AC₁与底面成60°角，E、F分别为AA₁、AB的中点．求异面直线EF与A₁C所成角的大小．

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（2013•乐山二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA⊥面ABCD，点M、N分别为BC、PA的中点，且PA=AB=2．
（1）证明：BC⊥面AMN；
（2）在线段PD上是否存在一点E，使得NM∥面ACE；若存在，求出PE的长，若不存在，说明理由．

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