Question

如图以椭圆+=1(a＞b＞0)的中心O为圆心，分别以a和b为半径作大圆和小圆，过椭圆右焦点F(c,0)(c＞b)作垂直于x轴的直线交大圆于第一象限内的点A，连结OA交小圆于点B，设直线BF是小圆的切线.

(Ⅰ)证明：c²=ab，并求直线BF与y轴的交点M的坐标；

(Ⅱ)设直线BF交椭圆于P、Q两点，证明·=b².

Answer 1

(Ⅰ)证明：由题设条件知,Rt△OFA∽Rt△OBF,故,即=,因此c²=ab,

解：在Rt△OFA中，FA==b,于是直线OA的斜率k_OA=,则直线BF的方程为y=-(x-c),令x=0,则y==a,∴直线BF与y轴的交点为M(0,a).

(Ⅱ)证明：由(Ⅰ),得直线BF的方程为y=kx+a                                                      ①

且k²==.                                                                                    ②

    由已知，设P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂),则它们的坐标满足方程组            ③

    由方程组③消去y，整理得(b²+a²k²)x²+2a³kx+a⁴-a²b²=0,                        ④

    由式①、②和④

x₁·x₂=,

    由方程组③消去x,并整理得(b²+a²k²)y²-2ab²y+a²b²-a²b²k²=0.                 ⑤

    由式②和⑤，y₁·y₂=,

    综上得,·=x₁x₂+y₁y₂=+,

    注意到a²-ab+b²=a²-c²+b²=2b²,得

·==(a²-ab)=b².