Question

已知⊙O1：(x-1)2+y2=9，⊙O2：x2+y2-10x+m2-2m+17=0(m∈R)．
（Ⅰ）判断⊙O₁和⊙O₂的位置关系；
（Ⅱ）当⊙O₂半径最大时，（1）求⊙O₁和⊙O₂公共弦所在直线l₁的方程；
（2）设直线l₁交x轴于点F，抛物线C以坐标原点为顶点，以F为焦点，直线l₂经过（3，0）与抛物线C相交于A、B两点，设∠AOB=α（O为坐标原点），求α最大时cosα的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把两个圆的方程化为标准方程，再根据圆心距与两个圆的半径之间的关系，确定两个圆的位置关系．
（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知，⊙O₂半径最大时的方程为（x-5）²+y²=9，它与⊙O1：(x-1)2+y2=9相交，将两方程相减得公共弦所在直线l₁的方程．
（2）由（1）求得抛物线C的方程为y²=12x，若直线l₂⊥x轴，则|OA|=|OB|=3

5

，|AB|=12，由余弦定理求得cosα=-

3

5

．若直线l₂不与x轴垂直，用点斜式设出直线
l₂的方程，并把它代入抛物线方程可得，ky²-12y-36k=0．利用韦达定理及两个向量的夹角公式求得cosα≥-

3

5

，从而求得α最大时cosα的值．

解答：解：（Ⅰ） x²+y²-10x+m²-2m+17=0（m∈R）可以化简成（x-5）²+y²=-（m-1）²+9，∴O₂（5，0），
又∵⊙O1：(x-1)2+y2=9，∴O₁（1，0），∴|O₁O₂|=4．
由条件可知-（m-1）²+9＞0，即-2＜m＜4，
∴

-(m-1)2+9

＜4-3=1?⊙O₁和⊙O₂相离，

-(m-1)2+9

=4-3=1?⊙O₁和⊙O₂外切，1＜

-(m-1)2+9

≤3?⊙O₁和⊙O₂相交．
所以，当-2＜m＜1-2

2

或1+2

2

＜m＜4时，⊙O₁和⊙O₂相离，当m=1-2

2

或m=1+2

2

时，⊙O₁和⊙O₂外切，
当1-2

2

＜m＜1+2

2

时，⊙O₁和⊙O₂相交．
（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知，⊙O₂半径最大时的方程为（x-5）²+y²=9，它与⊙O1：(x-1)2+y2=9相交，
将两方程相减得公共弦所在直线l₁的方程为：x=3．
（2）由（1）知F（3，0），∵抛物线C以F（3，0）为焦点，以原点O为顶点，∴抛物线C的方程为y²=12x．
若直线l₂⊥x轴，则|OA|=|OB|=3

5

，|AB|=12，
在△OAB中，由余弦定理得cosα=

|OA|2+|OB|2-|AB|2

2|OA|•|OB|

=

2(3 5 )2-122

2(3 5 )2

=-

3

5

．
若直线l₂不与x轴垂直，设直线l₂的方程为y=k（x-3）（k≠0），即x=

y

k

+3．
由方程组

x= y k +3 y2=12x

可得，ky²-12y-36k=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y1+y2=

12

k

，y1y2=-36，
∴x1+x 2=(

y1

k

+3)+(

y2

k

+3)=

y 1+y2

k

+6=

12

k2

+6，x1x2=

y 2 1 y 2 2

12×12

=9．
∴cosα=

OA • OB

| OA |•| OB |

=

x1x2+y1y2

x 2 1 + y 2 1 • x 2 2 + y 2 2

=

-27

(x1x2)2+ x 2 1 y 2 2 + x 2 2 y 2 1 +(y1y2)2

=

-27

92+ x 2 1 •12x2+ x 2 2 •12x1+362

=-

27

92+12x1x2(x1+x2)+362

=-

27

92+12×9×( 12 k2 +6)+362

＞-

27

92+12×9×6+362

=-

3

5

．
综上所述，cosα≥-

3

5

．
因为函数y=cosx在（0，π）是减函数，所以α最大时cosα的值为-

3

5

．

点评：本题主要考查两个圆的位置关系的判定，求两个圆的公共弦所在的直线方程，两个向量的夹角公式，属于中档题．