Question

已知F是椭圆的左焦点，A是椭圆短轴上的一个顶点，椭圆的离心率为，点B在x轴上，AB⊥AF，A、B、F三点确定的圆C恰好与直线相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）设O为椭圆的中心，过F点作直线交椭圆于M、N两点，在椭圆上是否存在点T，使得，如果存在，则求点T的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用椭圆的离心率为，可得A，F的坐标，从而可求AF的斜率，进而可得AB的斜率与方程，由此可得圆心坐标与半径，利用A、B、F三点确定的圆C恰好与直线相切，即可求得椭圆方程；
（2）分类讨论，将直线方程代入椭圆方程，利用向量知识及韦达定理，即可求得结论．
解答：解：（1）∵，∴
∴
取A（0，），∴
∵AB⊥AF，∴，∴
令y=0，∴，∴
∴圆心，半径r=a
∵A、B、F三点确定的圆C恰好与直线相切
∴圆心到直线的距离，∴a=2，∴
∴椭圆方程为…（7分）
（2）当MN的斜率存在时，设直线MN：ny=x+1，联立，（3n²+4）y²-6ny-9=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），T（x，y），
∵，
∴，解得，n=0．…（12分）
即MN的斜率存在时，T（2，0）．
当MN的斜率为0时，T不存在． …（14分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理的运用，解题的关键是直线与椭圆方程联立，利用韦达定理及向量知识，建立方程．