Question

已知定义在[1，4]上的函数f（x）=x²-2bx+

b

4

（b≥1），
（ I）求f（x）的最小值g（b）；
（ II）求g（b）的最大值M．

Answer 1

分析：（I）由已知中函数的解析式，可得f（x）=（x-b）²-b²+

b

4

的对称轴为直线x=b（b≥1），分当1≤b≤4时，和b＞4时，两种情况，分析函数在区间[1，4]上的单调性，可得f（x）的最小值g（b）；
（ II）结合（I）中所得g（b）的解析式，根据分段函数分段处理的原则，分别求出各段上函数的最大值，比照后可得g（b）的最大值M．

解答：解：f（x）=（x-b）²-b²+

b

4

的对称轴为直线x=b（b≥1），
（ I）①当1≤b≤4时，g（b）=f（b）=-b²+

b

4

；
②当b＞4时，g（b）=f（4）=16-

31

4

b，
综上所述，f（x）的最小值g（b）=

-b2+ b 4 (1≤b≤4) 16- 31 4 b(b＞4)

．
（ II）①当1≤b≤4时，g（b）=-b²+

b

4

=-（b-

1

8

）²+

1

64

，
∴当b=1时，M=g（1）=-

3

4

；
②当b＞4时，g（b）=16-

31

4

b是减函数，∴g（b）＜16-

31

4

×4=-15＜-

3

4

，
综上所述，g（b）的最大值M=-

3

4

．

点评：本题考查的知识点是二次函数在闭区间上的最值，函数单调性的性质，其中熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答本题的关键．