Question

如图，抛物线的顶点O在坐标原点，焦点在y轴负半轴上．
过点M（0，-2）作直线l与抛物线相交于A，B两点，且满足

OA

+

OB

=(-4，-12)．
（Ⅰ）求直线l和抛物线的方程；
（Ⅱ）当抛物线上一动点P从点A向点B运动时，求△ABP面积的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意设出直线和抛物线的方程，联立方程用根与系数法和向量相等求出p，k的值；
（Ⅱ）由题意AB为定长，只要AB边上的高最大，则三角形的面积最大；过点P的切线与l平行时，△APB得面积最大，求出P点的坐标，再求P点到直线AB的距离和AB的长，再求出面积．

解答：解：（Ⅰ）根据题意可设直线l的方程为y=kx-2，抛物线方程为x²=-2py（p＞0） （2分）
有

y=kx-2 x2=-2py

得x²+2pkx-4p=0 （3分）
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则x₁+x₂=-2pk，y₁+y₂=k（x₁+x₂）-4=-2pk²-4
∴

OA

+

OB

=(x1+x2，y1+y2)=(-2pk，-2pk2-4)（4分）
∵

OA

+

OB

=(-4，-12)，
∴

-2pk=-4?? -2pk2-4=-12

，解得

p=1 k=2

（5分）
故直线l的方程为y=2x-2，抛物线方程为x²=-2y． （6分）
（Ⅱ）据题意，当抛物线过点P的切线与l平行时，△APB得面积最大（7分）
设点P（x₀，y₀），由y'=-x，故由-x₀=2得x₀=-2，则y0=-

1

2

x

2 0

=-2
∴P（-2，-2） （9分）
∴点P到直线l的距离d=

|2×(-2)-(-2)-2|

22+(-1)2

=

4

5

=

4 5

5

（10分）
由

y=2x-2 x2=-2y

，得x²+4x-4=0 （11分）
∴|AB|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+22

(-4)2-4×(-4)

=4

10

（12分）
∴△ABP的面积的最大值为

1

2

•|AB|•d=

1

2

×4

10

×

4 5

5

=8

2

（14分）

点评：本题为直线与抛物线的综合问题，常用的方法联立直线及抛物线的方程，再利用韦达定理求解，本题还用数形结合思想求最大值，考查了运算能力和数形结合思想．