Question

如图，已知正四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁，点E在棱D₁D上，截面EAC∥D₁B，且面EAC与底面ABCD所成的角为45°，AB＝a．

(1)求截面EAC的面积

(2)求异面直线A₁B₁与AC之间的距离

(3)求三棱锥B₁－EAC的体积

Answer 1

答案：
解析：

解析：(1)连结DB交AC于O，连结EO． 　　∵底面ABCD是正方形 　　∴DO⊥AC 　　又∵ED⊥底面AC∴EO⊥AC 　　∴∠EOD是面EAC与底面AC所成二面角的平面角 　　∴∠EOD＝45° 　　DO＝a，AC＝a，EO＝a·sec45°＝a． 　　故SΔEAC＝a2． 　　(2)解：由题设ABCD－A1B1C1D1是正四棱柱，得A1A⊥底面AC，A1A⊥AC． 　　又A1A⊥A1B1 　　∴A1A是异面直线A1B1与AC间的公垂线 　　∵D1B∥面EAC，且面D1BD与面EAC交线为EO 　　∴D1B∥EO 　　又O是DB的中点 　　∴E是D1D的中点，D1B＝2EO＝2a． 　　∴D1D＝＝a． 　　异面直线A1B1与AC间的距离为a． 　　连结B1O，则＝2 　　∵AO⊥面BDD1B1 　　∴AO是三棱锥A－EOB1的高，AO＝a． 　　在正方形BDD1B1中，E、O分别是D1D、DB的中点 　　则：＝a2． 　　∴＝2··a2·a＝a3 　　所以三棱锥B1－EAC的体积是a3．