Question

（09年临沂一模理）（12分）

已知点M在椭圆（a>b>0）上，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F。

(1)若圆M与y轴相交于A、B两点，且△ABM是边长为2的正三角形，求椭圆的方程;

(2)若点F（1,0），设过点F的直线l交椭圆于C、D两点，若直线l绕点F任意转动时恒有|OC|²+|OD|²<|CD|²，求a的取值范围。

Answer 1

解析：（I）∵△ABM是边长为2的正三角形，∴圆M的半径r＝2，┉┉┉┉┉┉1分

   ∴M到y轴的距离d＝┉┉┉┉┉┉┉┉2分

   又圆M与x轴相切，∴当x＝c时，得y＝,r＝┉┉┉┉┉┉┉┉3分

∴＝2，c＝┉┉┉┉┉┉┉┉4分

∵解得a＝3或a＝－1（舍去），则b²＝2a＝6. ┉┉5分

故所求的椭圆方程为.┉┉┉┉┉┉┉┉6分

（2）设C(x₁,y₁),D(x₂,y₂)。

①当直线CD与x轴重合时，有

∵c=1, ∴a²=b²+c²>1,

恒有┉┉┉┉┉┉┉┉7分

②当直线CD不与x轴重合时，设直线CD的方程为x=my+1，代入

整理得┉┉┉┉┉┉┉┉8分

∴

∵恒有，∴恒为钝角，

则=x₁x₂+y₁y₂<0恒成立┉┉┉┉┉┉┉┉9分

∴x₁x₂+y₁y₂=(m²+1)y₁y₂+m(y₁+y₂)+1=+1

┉┉┉┉┉┉┉┉10分

又>0

∴<0对mR恒成立，

即对mR恒成立。

当mR时，的最小值为0，∴<0. ┉┉┉┉┉┉┉┉11分

∴,即

∴a>0,b>0, ∴a<b²,即a<a²-1, ∴a²-a-1>0.

解得或，即。

由①②可知，a的取值范围是(,+∞) ┉┉┉┉┉┉┉┉12分