Question

14．已知数列{a_n}的通项公式为a_n=1g（$\sqrt{{n}^{2}+1}$-n），判断数列{a_n}是否为单调数列，如是，请说明{a_n}的单调性；如不是，请说明理由．

Answer 1

分析 由（$\sqrt{{n}^{2}+1}$-n）（$\sqrt{{n}^{2}+1}$+n）=n²+1-n²=1，可得a_n=-lg（$\sqrt{{n}^{2}+1}$+n），再由对数函数的单调性即可判断．

解答 解：由（$\sqrt{{n}^{2}+1}$-n）（$\sqrt{{n}^{2}+1}$+n）=n²+1-n²=1，
可得a_n=1g（$\sqrt{{n}^{2}+1}$-n）=lg$\frac{1}{\sqrt{{n}^{2}+1+n}}$=-lg（$\sqrt{{n}^{2}+1}$+n），
由$\sqrt{{n}^{2}+1}$+n在n∈N^*上递增，
可得lg（$\sqrt{{n}^{2}+1}$+n）在n∈N^*上递增，
即有a_n=-lg（$\sqrt{{n}^{2}+1}$+n）在n∈N^*上递减．
则数列{a_n}为单调递减数列．

点评 本题考查数列的单调性的判断，注意运用对数函数的单调性，考查推理能力，属于基础题．