Question

已知

a

=(cosx，cosx-

3

sinx)，

b

=(sinx+

3

cosx，sinx)，且f（x）=

a

•

b

．
①将函数f（x）的表达式化为Asin（ωx+φ）+h的形式；
②若x∈[-

π

2

，

π

2

]，求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：①先根据向量的数量积的运算法则求出函数f（x）的解析式，然后利用二倍角公式进行化简变形，最后用辅助角公式变形即可将函数f（x）的表达式化为Asin（ωx+φ）+h的形式；
②根据正弦函数的单调性求出函数f（x）的单调区间，然后与x∈[-

π

2

，

π

2

]求交集即可求出所求．

解答：解：①f(x)=

a

•

b

=cosx(sinx+

3

cosx)+(cosx-

3

sinx)sinx…（2分）?f(x)=2sinxcosx+

3

(cos2x-sin2x)=sin2x+

3

cos2x…（4分）
?f(x)=2sin(2x+

π

3

)…（6分）
②当2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

?kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

时，函数f（x）单调递增．      …（9分）
又∵x∈[-

π

2

，

π

2

]，
∴函数f（x）的单调递增区间为：[-

5π

12

，

π

12

]．…（12分）

点评：本题主要考查了向量的数量积以及二倍角公式和辅助角公式和正弦函数的单调性，属于中档题．