Question

设F₁、F₂分别是椭圆

x2

4

+y2=1的左、右焦点．
（1）求椭圆

x2

4

+y2=1的焦点坐标、离心率及准线方程；
（2）若P是该椭圆上的一个动点，求

PF1

•

PF2

的最大值和最小值；
（3）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由e=

c

a

可知，要求离心率，只要根据方程求出a，b，结合c²=a²-b²可求c，从而可求e，进而可求椭圆的准线方程x=±

a2

c

（2）解法一：设P（x，y），则

PF1

•

PF2

=(-

3

-x，-y)•(

3

-x，-y)=x²+y²-3=

3x2-8

4

，由x∈[-2，2]，结合二次函数的性质可求最值
解法二：（2）设P（x，y），则，

PF1

•

PF2

=|

PF1

|•|

PF2

|•cos∠F1PF2=|

PF1

||

PF2

|•

| PF1 |2+| PF2 |2-| F1F2 |2

2| PF1 | | PF2 |

=x²+y²-3（以下同解法一）．
（3）显然直线x=0不满足题设条件，可设直l：y=kx-2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4，联立直线与椭圆方程，根据方程的根与系数关系可求x₁+x₂，x₁x₂，由△＞0可求k的范围，由0°＜∠AOB＜90°可得

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂＞0，代入可求k的范围

解答：解：（1）易知a=2，b=1，c=

3

∴F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)
∴离心率e=

3

2

，椭圆的准线方程为x=±

4 3

3

（2）解法一：设P（x，y），则

PF1

•

PF2

=(-

3

-x，-y)•(

3

-x，-y)=x²+y²-3
=x2+1-

x2

4

-3
=

3x2-8

4

因为x∈[-2，2]
故当x=0，即点P为椭圆短轴端点时，

PF1

•

PF2

有最小值-2；
当x=±2，即点P为椭圆长轴端点时，，

PF1

•

PF2

有最大值1．
解法二：
（2）易知a=2，b=1，c=

3

∴F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)
设P（x，y），则，

PF1

•

PF2

=|

PF1

|•|

PF2

|•cos∠F1PF2
=|

PF1

||

PF2

|•

| PF1 |2+| PF2 |2-| F1F2 |2

2| PF1 | | PF2 |

=

1

2

[(x+

3

)2+y2+(x-

3

)2+y2-12]
=x²+y²-3
（以下同解法一）．
（3）显然直线x=0不满足题设条件．
可设直l：y=kx-2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
联立

y=kx-2 x2 4 +y2=1

，消去y，整理得：(k2+

1

4

)x2 +4kx+3=0
∴x1+x2=-

4k

k2+ 1 4

，x1x2=

-3

k2+ 1 4

由△=(4k)2-4(k 2+ 

1

4

)×3=4k²-3＞0得：k＜

- 3

2

或k＞

3

2

①
又∵0°＜∠AOB＜90°
∴cos∠AOB＞0
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂＞0
又∵y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4
=

3k2

k2+ 1 4

+

-8k2

k2+ 1 4

=

1-k2

k2+ 1 4

∵

3

k2+ 1 4

+

1-k2

k2+ 1 4

＞0，即k²＜4，
∴-2＜k＜2②
故由①②得-2＜k＜-

3

2

，或

3

2

＜k＜2．

点评：本题主要考查了椭圆的性质的应用，直线与椭圆相交关系的应用，方程的根与系数关系及向量的夹角与数量积的关系的相互转化，属于综合性试题