Question

已知{a_n}是正数组成的数列，a₁=1，且点(

an

，an+1)(n∈N*)在函数y=x²+2的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b1=1，bn+1=bn+2an，求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）由已知得a_n+1-a_n=2，a₁=1，所以数列{a_n}是以1 为首项，公差为2的等差数列，由此能求出a_n．
（2）由a_n=2n-1，知b_n+1-b_n=2^2n-1．b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁=2^2n-3+2^2n-5+…+2³+2¹+1，由此能求出数列{b_n}的通项公式．

解答：解：（1）由已知得a_n+1=a_n+2，
即a_n+1-a_n=2…（3分）
又a₁=1，所以数列{a_n}是以1 为首项，公差为2的等差数列
故a_n=1+（n-1）×2=2n-1…（4分）
（2）由（1）知a_n=2n-1，从而b_n+1-b_n=2^2n-1…（6分）
b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁…（8分）=2^2n-3+2^2n-5+…+2³+2¹+1…（10分）
=

2-22n-1

1-4

+1=

1

6

(4n+2)…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．