Question

（本小题满分13分）已知某几何体的直观图和三视图如下图所示, 其正视图为矩形,左视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.

（Ⅰ）证明：⊥平面；

（Ⅱ）求平面与平面所成角的余弦值；[来源:Zxxk.Com]

 

Answer 1

【答案】

证明：见解析；（Ⅱ）二面角C－NB₁－C₁的余弦值为． 

【解析】本试题主要是考查了三视图和线面垂直的证明以及二面角的求解的综合运用。

（1）建立空间直角坐标系，利用线线垂直的证明来得到线面垂直的证明的判定。

（2）先求解两个半平面的法向量，然后利用法向量的夹角来求解二面角的平面角的大小的运用。

解：证明：因为该几何体的正视图为隽星，左视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，所以BA,BC,BB₁两两垂直，以BA,BC,BB₁分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系。。。。。。。2分

（Ⅱ）∵⊥平面,

∴是平面的一个法向量,     ------------8分

设为平面的一个法向量, Zxxk

则,

所以可取．                      ------------10分

则．

∴所求二面角C－NB₁－C₁的余弦值为．    ------------12分