Question

已知函数，则方程f（f（x））=f（x）有____个实数根．

1. A.
   6
2. B.
   5
3. C.
   4
4. D.
   2

Answer 1

C
分析：由于f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，先考虑函数在（0，+∞）上的情况．令t=f（x）＞0，方程即f（t）=t，解得
t=，进而求得x= 或 x=．从而得到方程在（0，+∞）上有两个实数根．再由对称性可得，方程在
（-∞，0）上也有两个实数根，从而得到方程的根的个数．
解答：∵函数满足 f（-x）=f（x），故f（x）是偶函数．
先考虑函数在（0，+∞）上的情况．
当x＞0时，f（x）=．
令t=f（x）＞0，方程f（f（x））=f（x）即f（t）=t，∴①，或②．
解①得t∈∅，解②得 t=．
故有f（x）=，当 0＜x＜1时，由 2x=解得 x=．
当x≥1时，由=，解得 x=．
综上可得，方程f（f（x））=f（x）在（0，+∞）上有两个实数根．
再由f（x）是偶函数，图象关于y轴对称可得，方程f（f（x））=f（x）在（-∞，0）上也有两个实数根，
故方程f（f（x））=f（x）在定义域{x|x≠0}上有4个实数解，
故选C．
点评：本题主要考查方程的根的存在性以及根的个数判断，函数的奇偶性的应用，带有绝对值的函数，属于中档题．