Question

已知向量

a

=(

3

sinωx，cosωx)，

b

=(cosωx，cosωx)其中ω＞0，记函数f(x)=

a

•

b

，已知f（x）的最小正周期为π．
（1）求f（x）的解析式；
（2）说出由y=sinx的图象经过如何的变换可得到f（x）的图象；
（3）当0＜x＜

π

3

时，试求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）=

a

•

b

转化为sin（2ωx+

π

6

）+

1

2

，利用周期公式求得ω，即可得出f（x）的解析式；
（2）函数y=sinx的图象经过左右平移，得y=sin(x+

π

6

)的图象，然后是横坐标变伸缩变换，纵坐标不变，可得到y=sin（2x+

π

6

）的图象，最后再向上平移

1

2

个单位就得到f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

的图象．
（3）由（1）得f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

，由0＜x＜

π

3

，得

π

6

＜2x+

π

6

＜

5π

6

，再利用整体思想求解求f（x）的值域．

解答：解：（1）f（x）=

3

sinωxcosωx+cos²ωx=

3

2

sin2ωx+

1

2

（1+cos2ωx）
=sin（2ωx+

π

6

）+

1

2

∵ω＞0，∴T=π=

2π

2ω

，∴ω=1．
f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

，
（2）y=sinx的图象向左平移

π

6

个单位得y=sin(x+

π

6

)的图象
再由y=sin(x+

π

6

)图象上所有点的横坐标变为原来的

1

2

，纵坐标不变，
得到y=sin（2x+

π

6

）的图象，
最后再向上平移

1

2

个单位就得到f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

的图象．
（3）由（1），得∵0＜x＜

π

3

，
∴

π

6

＜2x+

π

6

＜

5π

6

．
∴f（x）∈（1，

3

2

]
∴求f（x）的值域为：（1，

3

2

]．

点评：本题主要考查用向量运算将函数转化为一个角的一种三角函数，进一步研究三角函数的周期性和值域．