Question

斜三棱柱OAB-CA₁B₁，其中向量

OA

=

a

，

OB

=

b

，

OC

=

.

c

，三个向量之间的夹角均为

π

3

，点M，N分别在CA₁，BA₁上且

CM

=

1

2

MA1

，

BN

=

NA1

，|

OA

|=2，|

OB

|=2，

|OC|

=4，如图
（1）把向量

AM

用向量

a

，

c

表示出来，并求|

AM

|；
（2）把向量

ON

用

a

，

b

，

c

表示；
（3）求AM与ON所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）先用

a

、

c

表示

OM

，

AM

，利用

AM

=

OM

-

OA

表示出

AM

，根据向量的模计算公式计算求得|

AM

|．
（2）由

BN

=

NA1

得N为BA₁的中点，利用

ON

=

1

2

（

OB

+

OA1

）表示出

ON

．
（3）利用模计算公式求出|

ON

|，利用向量的数量积运算求出

AM

•

ON

，根据cos＜

AM

，

ON

＞=

AM • ON

| AM || ON |

求异面直线所成角的余弦值．

解答：解：（1）如图：

OM

=

OC

+

CM

=

c

+

1

3

a

，

AM

=

OM

-

OA

=

c

+

1

3

a

-

a

=

c

-

2

3

a

，
∵∠AOC=

π

3

，∴|

AM

|=

c 2+ 4 9 a 2-2× 2 3 a • c

=

16+ 16 9 - 4 3 ×2×4× 1 2

=

4 7

3

；
（2）∵

OA1

=

OA

+

OC

=

c

+

a

，

OB

=

b

，
又

BN

=

NA1

，N为BA₁的中点，
∴

ON

=

1

2

（

OB

+

OA1

）=

1

2

（

a

+

b

+

c

）；
（3）三个向量之间的夹角均是

π

3

，|

ON

|=

1

2

×

4+4+16+2×2×2× 1 2 +2×2×4× 1 2 +2×4×2× 1 2

=

1

2

×

44

=

11

，
∴

AM

•

ON

=(-

2

3

a

+

c

)•

1

2

(

a

+

b

+

c

)=-

1

3

×（4+2×2×

1

2

+2×4×

1

2

）+

1

2

×（2×4×

1

2

+2×4×

1

2

+4×4）=

26

3

，
COS＜

AM

，

ON

＞=

AM • ON

| AM |• |ON|

=

26 3

4 7 3 × 11

=

13 77

154

，
故异面直线AM与ON所成的角的余弦值为

13 77

154

．

点评：本题考查了用向量运算求异面直线所成的角，考查了向量的加、减、数量积运算，考查了向量的模运算公式，运算量大，计算时一定要细心．