Question

设函数f（x）=x+ae^x，其中a为实常数．
（1）当a=-1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）讨论f（x）在定义域R上的极值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）根据导数和函数的单调性的关系即可求出单调区间；
（2）先求导，再根据a经行分类，当a≥0时，当a＜0时，再利用导数和极值的关系即可求出

解答： 解：（1）当a=-1时，f（x）=x-e^x，
∴f′（x）=1-e^x，
令f′（x）=0，解得x=0，
当f′（x）＞0，得到x＜0，
当f′（x）＜0，得到x＞0，
∴函数f（x）在（-∞，0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数；
（2）∵f′（x）=1+ae^x，
①当a≥0时，f′（x）＞0恒成立，
函数f（x）在R上单调递增，无极值，
②当a＜0时，
令f′（x）=0，解得x=ln（-

1

a

），
当f′（x）＞0，得到x＜ln（-

1

a

），f（x）单调递增，
当f′（x）＜0，得到x＞ln（-

1

a

），f（x）单调递减，
∴当x=ln（-

1

a

）时，函数有极大值，且为ln（-

1

a

）-1，无极小值
综上所述，当a≥0时，无极值，当a＜0时，当x=ln（-

1

a

）时，函数有极大值，且为ln（-

1

a

）-1，无极小值

点评：本题考查了导数和函数的单调性以及极值的关系，培养了学生的分类讨论的能力，属于中档题