Question

20．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n-5a_n-85，n∈N₊．
（1）求a_n．
（2）求数列{S_n}的通项公式，并求出n为何值时，S_n取得最小值？并说明理由．（参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.48）．

Answer 1

分析 （1）运用数列的通项与求和的关系：当n=1时，a₁=S₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，通过构造数列，结合等比数列的定义和通项公式，即可得到所求；
（2）将（1）的结论代入条件，可得S_n=n+75×（$\frac{5}{6}$）^n-1-90．设S_k为最小值，则$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{k-1}≥{S}_{k}}\\{{S}_{k+1}≥{S}_{k}}\end{array}\right.$，运用通项公式，结合对数函数的单调性，解不等式计算即可得到所求k的值．

解答 解：（1）∵S_n=n-5a_n-85，∴当n=1时，S₁=1-5a₁-85，
即a₁=1-5a₁-85，解得a₁=-14；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（n-5a_n-85）-[（n-1）-5a_n-1-85]=-5a_n+5a_n-1+1，
整理得6a_n=5a_n-1+1，∴6（a_n-1）=5（a_n-1-1），
∴$\frac{an-1}{an-1-1}$=$\frac{5}{6}$．又a₁-1=-15，
∴数列{a_n-1}是以-15为首项，$\frac{5}{6}$为公比的等比数列．
∴a_n=-15×（$\frac{5}{6}$）^n-1+1；
（2）由（1）知，a_n=-15×（$\frac{5}{6}$）^n-1+1，
代入S_n=n-5a_n-85得，S_n=n-5[-15×（$\frac{5}{6}$）^n-1+1]-85
=n+75×（$\frac{5}{6}$）^n-1-90．
设S_k为最小值，则$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{k-1}≥{S}_{k}}\\{{S}_{k+1}≥{S}_{k}}\end{array}\right.$，即有$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{k}≤0}\\{{a}_{k+1}≥0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-15×（\frac{5}{6}）^{k-1}+1≤0}\\{-15×（\frac{5}{6}）^{k}+1≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{5}{6}）^{k-1}≥\frac{1}{15}}\\{（\frac{5}{6}）^{k}≤\frac{1}{15}}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{k-1≤lo{g}_{\frac{5}{6}}\frac{1}{15}}\\{k≥lo{g}_{\frac{5}{6}}\frac{1}{15}}\end{array}\right.$，
即log${\;}_{\frac{5}{6}}$$\frac{1}{15}$≤k≤log${\;}_{\frac{5}{6}}$$\frac{1}{15}$+1，又log${\;}_{\frac{5}{6}}$$\frac{1}{15}$=$\frac{lg\frac{1}{15}}{lg\frac{5}{6}}$=$\frac{-lg3-1+lg2}{1-2lg2-lg3}$=$\frac{1+lg3-lg2}{2lg2+lg3-1}$，
lg2≈0.3，lg3≈0.48，∴log${\;}_{\frac{5}{6}}$$\frac{1}{15}$≈14.75．
∴14.75≤k≤15.75．又∵k∈N₊，∴k=15．
即当n=15时，S_n取得最小值．

点评 本题考查数列的通项的求法，注意运用数列通项与前n项和的关系，考查构造数列法，运用等比数列的定义和通项公式，同时考查数列的求和及最值的求法，注意运用不等式的解法和对数函数的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．