Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=ca_n+（2n+1）cⁿ⁺¹（n∈N^*），其中实数c≠0．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）猜想{a_n}的通项公式，并证明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）由a₁=1，a₂=ca₁+c²•3=3c²+c，a₃=ca₂+c³•5=8c³+c³，a₄=ca₃+c⁴•7=15c⁴+c³即得；
（2）根据a₁，a₂和a₃猜测a_n=（n²-1）cⁿ+c^n-1，进而用数学归纳法证明；

解答：解：（1）由a1=1，  an+1=c an+(2n+1) cn+1   ⇒a2=ca1+3c2=3c2+c，a3=ca2+5c3=8c3+c2，  a4=ca3+7c4=15c4+c3；
（2）猜想：an=(n2-1)cn+cn-1；
①当n=1时，a1=1=(12-1)c1+c1-1，猜想成立；
②假设n=k时，猜想成立，即：ak=(k2-1)ck+ck-1，
则n=k+1时，ak+1=cak+(2k+1)ck+1=c[(k2-1)ck+ck-1]+(2k+1)ck+1
=（k²-1+2k+1）c^k+1+c^k=[（k+1）²-1]c^k+1+c^（k+1）-1
猜想成立．
综合①②可得对n∈N^*，an=(n2-1)cn+cn-1成立．

点评：本题主要考查了数列的递推式、数学归纳法，考查了学生综合运用所学知识和实际的运算能力