Question

3位男士甲、乙、丙和3位女士A、B、C在一起合影留念，在下面各种条件下各有多少种不同的排法？
（1）排成一排，甲不在两端；
（2）排成一排，甲不在左端，A不在右端；
（3）若他们是3对夫妻，排成前后两排，使每对夫妻前后成对；
（4）排成一排，使甲、乙都和A不相邻．

Answer 1

分析：（1）分2步进行，先排甲，甲不在两端，再将剩下5个人安排在其余的5个位置，分别计算每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案；
（2）用排除法，先计算6人排成一排的站法数目，再计算甲在左端和乙在右端的情况数目，进而计算甲在左端同时乙在右端情况数目，由事件之间的关系，计算可得答案；
（3）分3步进行，先在每对夫妻中任取1人，再将取出的3人排成一排，作为前排，最后让剩下的3人对应站在后排，分别计算每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案；
（4）分2种情况讨论，①甲、乙、A都不相邻，②甲、乙相邻但与A不相邻，分别计算每种情况下的站法数目，由分类计数原理计算可得答案．

解答：解：（1）先排甲，甲不在两端，有A₄¹种站法，
再将剩下5个人安排在其余的5个位置，有A₅⁵种情况，
共有A₄¹A₅⁵=480种站法；
（2）6人排成一排，有A₆⁶种站法，
其中甲在左端有A₅⁵种，乙在右端有A₅⁵种，
甲在左端同时乙在右端有A₄⁴种，
则共有A₆⁶-2A₅⁵+A₄⁴=504种站法；
（3）在每对夫妻中任取1人，有2×2×2=8种情况，
再将取出的3人排成一排，作为前排，有A₃³种情况，
最后让剩下的3人对应站在后排，有1种情况，
则有8×A₃³×1=48种站法；
（4）分2种情况讨论，①甲、乙、A都不相邻有A₃³A₄³种，
②甲、乙相邻但与A不相邻有A₃³A₄²A₂²种，
则有A₃³A₄³+A₃³A₄²A₂²=288种站法．

点评：本题考查排列、组合的应用，关键在于明确事件之间的关系，同时要掌握特殊问题的处理方法．