Question

11．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，$\frac{3}{4}$），$\overrightarrow{b}$=（cosx，-1）．
（1）当$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$时，求cos²x-sin2x的值；
（2）设函数f（x）=2（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{b}$，已知在△ABC中，若tanA=1，求f（x）+4cos（2A+$\frac{π}{6}$）（x∈[0，$\frac{π}{3}$]）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由向量共线和三角函数可得tanx的值，进而可得，cos²x-sin2x=$\frac{1-2tanx}{ta{n}^{2}x+1}$，代值计算可得；
（2）由向量和三角函数运算可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{3}{2}$，可得A=$\frac{π}{4}$，代入可得f（x）+4cos（2A+$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{1}{2}$，由x∈[0，$\frac{π}{3}$]和三角函数值域可得答案．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（sinx，$\frac{3}{4}$），$\overrightarrow{b}$=（cosx，-1），
∴当$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$时，-sinx-$\frac{3}{4}$cosx=0，
解得tanx=$\frac{sinx}{cosx}$=-$\frac{3}{4}$，
∴cos²x-sin2x=$\frac{co{s}^{2}x-2sinxcosx}{si{n}^{2}x+co{s}^{2}x}$
=$\frac{1-2tanx}{ta{n}^{2}x+1}$=$\frac{1+\frac{3}{2}}{\frac{9}{16}+1}$=$\frac{8}{5}$；
（2）∵$\overrightarrow{a}$=（sinx，$\frac{3}{4}$），$\overrightarrow{b}$=（cosx，-1），
∴f（x）=2（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{b}$=2（sinx+cosx）cosx+$\frac{1}{2}$
=2sinxcosx+2cos²x+$\frac{1}{2}$=sin2x+cos2x+$\frac{3}{2}$
=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{3}{2}$，
∵在△ABC中tanA=1，∴A=$\frac{π}{4}$，
∴f（x）+4cos（2A+$\frac{π}{6}$）
=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{3}{2}$+4cos（$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{6}$）
=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{1}{2}$；
∵x∈[0，$\frac{π}{3}$]，∴2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{11π}{12}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈[$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，1]，
∴$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈[$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，$\sqrt{2}$]，
∴$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{1}{2}$∈[$\frac{\sqrt{3}-2}{2}$，$\frac{2\sqrt{2}-1}{2}$]，
∴所求的取值范围为：[$\frac{\sqrt{3}-2}{2}$，$\frac{2\sqrt{2}-1}{2}$]

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及向量的数量积运算和平行关系，属中档题．