Question

如图所示，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状． (1) 若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少? (2) 　　若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小? 　　(半个椭圆的面积公式为S＝lh，柱体体积为：底面积乘以高．本题结果均精确到0.1米)

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解析：如图所示建立直角坐标系，则点P(11，4.5) 　　椭圆方程为+=1． 　　将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程， 　　得a=，此时l=2a=≈33.3． 　　因此隧道的拱宽约为33.3米．
(2)	方法一：由椭圆方程+=1，得+=1 　　因为+≥即ab≥99，且l=2a,h=b． 　　所以S=lh－≥ 　　当S取最小值时，有== 　　得a＝11．b＝ 　　此时l＝2a＝22≈31.1，h＝b≈6.4． 　　故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量最小． 　　方法二：由椭圆方程+＝1，得+＝1 　　于是b2＝· 　　a2b2＝(a2－121++242) 　　　 ≥＝(2+242)=81×121 　　即ab≥99，当S取最小值时，有a2－121＝．得a＝11，b＝，以下同方法一．