Question

设椭圆

x2

m+1

+y2=1的两个焦点是F₁（-c，0），F₂（c，0）（c＞0），且椭圆上存在点P，使得直线PF₁与直线PF₂垂直．
（I）求实数m的取值范围．
（II）设l是相应于焦点F₂的准线，直线PF₂与l相交于点Q．若

|QF2|

|PF2|

=2-

3

，求直线PF₂的方程．

Answer 1

分析：（1）根据直线PF₁⊥直线PF₂推断以O为圆心以c为半径的圆与椭圆有交点，两个方程联立，表示出x²，进而根据0≤x²＜a²确定m的范围．
（2）设P（x，y），直线PF₂方程为：y=k（x-c），根据直线l的方程求得点Q的坐标，根据

|QF2|

|PF2|

=2-

3

可推断出点P分有向线段

QF 2

所成比为3-

3

，进而根据Q和F₂的坐标求得点P的坐标，代入椭圆方程求得k，直线PF₂的方程可得．

解答：解：（1）∵直线PF₁⊥直线PF₂
∴以O为圆心以c为半径的圆：x²+y²=c²与椭圆：

x2

m+1

+y2=1有交点．即

x2+y2=c2 x2 m+1 +y2=1

有解
又∵c²=a²-b²=m+1-1=m＞0
∴0≤x2=

m2-1

m

＜a2=m+1
∴m≥1
（2）设P（x，y），直线PF₂方程为：y=k（x-c）
∵直线l的方程为：x=

a2

c

=

m+1

m

∴点Q的坐标为（

m+1

m

，

k

m

）
∵

|QF2|

|PF2|

=2-

3

∴点P分有向线段

QF 2

所成比为3-

3

∵F₂（

m

，0），Q（

m+1

m

，

k

m

）
∴P（

(4- 3 )m+1

(4- 3 ) m

，

k

(4- 3 ) m

）
∵点P在椭圆上∴

( (4- 3 )m+1 (4- 3 ) m )2

m+1

+(

k

(4- 3 ) m

)2=1
∴k=±

(11-6 3 )m-1 m+1

直线PF₂的方程为：y=±

(11-6 3 )m-1 m+1

（x-

m

）．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．