Question

在二项式（

x

+

1

2 4 x

）ⁿ的展开式中，前三项的系数成等差数列．
（1）求展开式中的二项式系数最大的项；
（2）求展开式中的有理项．

Answer 1

考点：计数原理的应用

专题：二项式定理

分析：根据展开式的通项公式，再根据等差中项的性质即可求出n的值，然后再根据二项式定理问题得以解决

解答： 解∵∵（

x

+

1

2 4 x

）ⁿ，
∴T_k+1=

C

k n

•(

x

)n-k•(

1

2 4 x

)k=

C

k n

•2^-k•x4-

3

4

k，
分别令k=0，k=1，k=2，
∴二项展开式的前三项的系数分别为1，

n

2

，

1

8

n（n-1），
∵前三项的系数成等差数列．         
∴2×

n

2

=1+

1

8

n（n-1），解得n=8或n=1（不合题意，舍去）        
（1）因为n=8，所以展开式中共9项，中间一项即第5项的系数最大，
∴T₅=

35

8

x                                  
（2）∵T_k+1═

C

k n

•2^-k•x4-

3

4

k，
当4-

3

4

k∈Z时，T_r+1为有理项，
又0≤k≤8且k∈Z，
∴k=0，4，8符合要求．
故展开式中的有理项有3项，分别是：T₁=x⁴，T₅=

35

8

x，T₉=

1

256x2

点评：本题考查了二项式定里，关键是掌握展开式的通项，属于基础题