Question

（2012•浦东新区三模）已知中心在原点，顶点A₁、A₂在x轴上，其渐近线方程是y=±

2 3

3

x，双曲线过点P（6，6）．
（1）求双曲线方程
（2）动直线l经过△A₁PA₂的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问是否存在直线l，使G平分线段MN，证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）设出双曲线方程，利用渐近线方程是y=±

2 3

3

x，双曲线过点P（6，6），建立方程组，求出几何量，即可得到双曲线的方程；
（2）利用点差法，结合韦达定理求出直线方程，利用判别式进行验证，即可得到结论．

解答：解：（1）如图，设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1…（1分）
由已知渐近线方程是y=±

2 3

3

x，双曲线过点P（6，6），得

62 a2 - 62 b2 =1 b a = 2 3 3

…（3分）
解得

a2=9 b2=12

…（5分）
所以所求双曲线方程为

x2

9

-

y2

12

=1 …（6分）
（2）P、A₁、A₂的坐标依次为（6，6）、（3，0）、（-3，0），
∴其重心G的坐标为（2，2）…（8分）
假设存在直线l，使G（2，2）平分线段MN，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）  则有x₁+x₂=4，y₁+y₂=4
∵

x12

9

-

y12

12

=1，

x22

9

-

y22

12

=1
∴两式相减可得

y1-y2

x1-x2

=

4

3

，∴k_l=

4

3

…（10分）
∴l的方程为y=

4

3

（x-2）+2（12分）
代入椭圆方程，消去y，整理得x²-4x+28=0 
∵△=16-4×28＜0，∴所求直线l不存在 …（14分）

点评：本题考查双曲线的标准方程，考查点差法的运用，考查学生方程解决问题的能力，正确运用点差法是关键．